10장 물질수지의 알고리즘화

10.1 시스템 경계와 흐름도 라벨링

물 1 L를 깔때기에 부어 플라스크로 흘려보낸다. 깔때기에 처음 물이 없었고 부은 1 L가 전부 빠져나갔다면, 깔때기에 남은 물은 얼마인가. 답은 0 L다. 이 답은 깔때기의 크기나 벽면의 기울기와 무관하다. 들어간 양과 나온 양만 알면 내부 구조를 몰라도 결론이 나온다.

이 하찮은 예제가 물질수지의 뼈대 전부다. 관심 영역을 정해 두고 그 안팎으로 드나드는 질량을 장부에 적는 계산을 물질수지(material balance)라 한다. 그리고 관심 영역을 둘러싸는 가상의 닫힌 면을 시스템 경계(system boundary)라 한다. 경계를 어디에 긋는가에 따라 같은 공정에서도 전혀 다른 식이 나오는데, 이 선택의 자유를 10.3절에서 재순환 문제를 푸는 데 그대로 쓴다.

경계를 그었으면 장부의 계정은 다섯 개다. 들어온 것, 나간 것, 안에서 생긴 것, 안에서 없어진 것, 그리고 그 결과로 쌓인 것이다. 이를 한 줄로 쓰면 일반 수지식을 얻는다.

축적 = 입력 − 출력 + 생성 − 소멸 (10.1)

생성과 소멸은 화학반응의 몫이다. 이 장에서는 반응이 없는 공정만 다루므로 두 항은 0이다. 여기에 조업 조건이 시간이 지나도 변하지 않는 상태, 곧 정상상태(steady state)를 가정하면 축적도 0이 되어 식은 가장 단순한 형태로 줄어든다.

입력 = 출력 (10.2)

10.1.1 흐름도 라벨링: 문제의 절반

서술형 문제를 받으면 식보다 그림이 먼저다. 문장 속에 흩어진 장치와 흐름을 종이 위의 흐름도로 옮기는 작업을 라벨링이라 부르며, 순서는 다음과 같다.

• 문제에 나온 공정마다 이름을 붙인다(혼합기 A, 분리기 B 순으로).
• 모든 스트림에 번호를 붙이고, 유량은 ṁ₁처럼 스트림 번호를 첨자로 단다.
• 주어진 값이든 미지수든 전부 흐름도에 적는다(단위를 반드시 포함한다).
• 부피 유량은 질량 유량과 구별되게 표시해 둔다.

마지막 항목이 함정이다. 질량과 달리 부피에는 대부분의 경우 보존 법칙이 없다. 부피 유량이 주어지면 밀도를 곱해 질량 유량으로 환산한 뒤에 수지식에 넣어야 하며, "부피 보존" 식을 세우면 그 시점에서 답이 틀어진다.

미지수를 세는 규칙도 여기서 정해진다. 성분이 C개인 스트림의 독립 미지수는 C개다. 질량분율 C−1개와 총유량 1개다. 분율의 합이 1이므로 마지막 분율은 나머지에서 자동으로 정해지지만, 총유량은 분율만으로는 알 수 없기 때문이다.

10.2 자유도 분석: 풀리는 문제인지 먼저 판정한다

식을 다 세우고 연립을 반쯤 풀고 나서야 "안 풀리는 문제였다"를 아는 것은 가장 늦은 발견이다. 계산을 시작하기 전에 미지수 개수와 독립 방정식 개수를 세어 비교하면 풀리는 문제인지 미리 알 수 있다. 이 차이를 자유도(degree of freedom, DOF)라 한다.

DOF = 미지수 개수 − 독립 방정식 개수 (10.3)

판정은 세 갈래다. 자유도가 0이면 미지수를 유한한 해로 결정할 수 있는 적정지정(well-defined) 문제다. 0보다 크면 정보가 모자라는 과소지정(underspecified), 0보다 작으면 정보가 남거나 서로 모순일 수 있는 과잉지정(overspecified)이다.

방정식으로 셀 수 있는 것은 성분별 수지만이 아니다. 분리 효율 같은 공정 사양, 조성 사이의 관계식, 문제 서술이 주는 추가 정보도 모두 방정식 한 건으로 친다. 단, 서로 독립일 때만 센다. "들어온 A의 60 %가 스트림 2로 간다"와 "A의 40 %가 스트림 3으로 간다"는 같은 정보의 앞뒷면이므로 한 건이다.

이 판정을 포함한 풀이 절차 전체가 화공양론 교재(Felder & Rousseau)가 정식화한 체계적 풀이 프로토콜이다. 순서는 흐름도 작성 → 라벨링 → 자유도 분석 → 풀이 계획 수립 → 계산이다. 이 다섯 단계는 그 자체로 하나의 알고리즘이며, 이 장의 제목에 있는 "알고리즘화"는 numpy 이전에 여기서 시작한다. 코드로 옮기는 것은 마지막 두 단계뿐이고, 앞의 세 단계는 사람의 몫으로 남는다.

10.2.1 다중 유닛 시스템의 자유도

장치가 여러 개면 유닛마다 자유도 분석을 한 뒤 합산한다. 그리고 두 장치 사이를 잇는 중간 스트림의 변수 개수를 합계에서 뺀다. 중간 스트림은 나가는 장치에서 한 번, 들어가는 장치에서 한 번, 두 번 세어졌기 때문이다. 이렇게 얻은 수가 시스템 전체의 자유도다.

자유도가 0으로 판정되면 풀이 계획은 기계적으로 나온다. 자유도가 0인 유닛(또는 유닛 조합)을 찾아 그 미지수를 먼저 계산하고, 계산된 값을 기지수로 바꿔 나머지 유닛의 자유도를 다시 센다. 어딘가가 새로 0이 되면 거기를 풀고, 구하려는 값이 전부 나올 때까지 반복한다.

10.3 재순환과 퍼지: 되돌아오는 흐름의 회계

분리가 한 번에 충분하지 않으면 덜 분리된 흐름을 공급 쪽으로 되돌려 다시 통과시킨다. 이렇게 공정 출구의 일부를 상류로 되돌리는 흐름을 재순환(recycle)이라 한다. 재순환이 붙으면 흐름도에 새 교차점이 두 개 생긴다. 스트림이 갈라지는 지점을 분기점(splitting point), 신선 공급과 재순환 흐름이 만나는 지점을 합류점(recombination point)이라 한다.

스트림 1 ──▶ [합류점] ──▶ ┌────────┐ ──▶ 스트림 2 (상부 생성물)
(신선 공급)      ▲   스트림 4 │ 분리기 │
                │            └────────┘
                │                 │ 스트림 3 (하부)
                │                 ▼
                └──────────── [분기점] ──▶ 스트림 6 (하부 생성물)
                  스트림 5 (재순환)
  

재순환 시스템의 회계 규칙은 세 가지다. 첫째, 분기점과 합류점도 자유도 분석에서는 하나의 공정으로 센다. 다른 어디에서도 세어지지 않는 미지수를 갖기 때문이다. 둘째, 분기점에서 갈라진 두 흐름은 조성이 같다. 이 조성 동일 조건이 방정식 1건이 되고, 분기비(얼마를 되돌리는가)가 주어지면 또 1건이 된다. 셋째, 합류점에서는 이런 추가 방정식이 나오지 않는다. 조성이 다른 두 흐름이 섞이므로 출구 조성은 수지를 풀어야 나온다.

둘째 규칙에는 함정이 하나 붙어 있다. 자유도 분석이 끝나기 전에는 갈라진 두 흐름의 조성을 같은 변수로 라벨링하지 마라. 같다고 적어 버리는 순간 그 정보를 이미 써 버린 것이라, 방정식 수를 셀 때 이중으로 세거나 빠뜨리기 쉽다. 미지수는 미지수대로 두고, 정보는 정보대로 세는 것이 안전하다.

풀이 계획에서는 10.1절의 경계 선택이 그대로 쓰인다. 경계를 시스템 전체에 그은 총괄수지(overall balance)를 세우면 재순환 스트림은 경계를 드나들지 않으므로 식에서 아예 사라진다. 재순환의 조성이 미지수일 때 이 요령 하나가 계산량을 크게 줄이며, 재순환 문제는 대개 총괄수지에서 출발하는 것이 좋다.

그림 10-1의 시스템(성분 2개)에 10.2절의 다중 유닛 절차를 적용해 보자. 합류점은 미지수 6 − 수지 2 = 4 DOF, 분리기는 미지수 6 − 수지 2 − 분리 사양 2 = 2 DOF, 분기점은 미지수 6 − 수지 2 − 조성 동일 1 − 분기비 1 = 2 DOF다. 신선 공급이 지정되면 합류점은 4가 아닌 2 DOF가 되고, 세 교차점의 합 2 + 2 + 2에서 중간 스트림 변수 6을 빼면 시스템 자유도는 0이다. 문제는 풀린다. 손으로 풀면 대입이 여러 겹이지만, 10.4절에서 행렬로 한 번에 처리한다.

10.3.1 퍼지: 루프의 배출구

재순환 루프에서 일부를 계 밖으로 뽑아 버리는 흐름을 퍼지(purge)라 한다. 반응 공정에서 원료에 섞여 들어온 비활성 성분은 반응으로도 분리로도 없어지지 않아 루프를 돌며 쌓이는데, 퍼지는 이 축적을 막는 배출구 역할을 한다. 수지 회계의 관점에서 퍼지는 분기점이 하나 늘어나는 것과 같다. 10.4절의 행렬에 행이 몇 줄 더해질 뿐, 새 이론은 필요 없다. 반응이 얽힌 퍼지의 정량 설계는 화공양론 수업의 몫으로 남긴다.

10.4 연립선형방정식의 행렬 표현과 numpy 풀이

수지식을 코드로 넘기기 전에 미지수 선택부터 손봐야 한다. (총유량, 분율) 쌍을 미지수로 쓰면 식마다 ṁ₂x_A2 같은 곱이 나타난다. 미지수끼리의 곱은 1차식이 아니므로, 이대로는 이 절의 도구를 쓸 수 없다.

해법은 미지수를 바꿔 잡는 것이다. 스트림 속 한 성분의 질량 유량을 통째로 하나의 미지수로 잡은 것을 성분 유량(component flow rate)이라 한다. 스트림 2의 A 성분 유량을 A₂라 쓰면 ṁ₂x_A2가 곱이 아니라 A₂ 하나가 되고, 무반응 물질수지는 전부 미지수의 덧셈과 상수배만 남는다. 이런 방정식을 선형(linear) 방정식이라 하며, 여러 개를 묶은 것이 연립선형방정식이다.

선형 연립방정식은 표준형이 있다. 계수만 뽑아 정사각 표로 모은 것을 계수 행렬(coefficient matrix) A, 미지수를 세로로 쌓은 것을 벡터 x, 우변 상수를 벡터 b라 하면 연립 전체가 한 줄이 된다.

Ax = b (10.4)

numpy가 푸는 것이 정확히 이 형태다. 작은 3원 연립으로 손을 먼저 풀어 보자.

import numpy as np

# 연립방정식 (Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9판, 7.3절 예제)
#   x1 -  x2 +   x3 = 0
#       10*x2 + 25*x3 = 90
# 20*x1 + 10*x2        = 80
A = np.array([[ 1, -1,  1],
              [ 0, 10, 25],
              [20, 10,  0]])
b = np.array([0, 90, 80])

x = np.linalg.solve(A, b)   # 해 벡터
print(x)

[2. 4. 2.]

해가 나왔다. 그런데 이 해가 정말 방정식을 만족하는지 코드로 검증하려다 보면 첫 함정을 만난다.

print(A @ x)            # A와 x의 행렬곱 — b와 같아야 한다
print(A @ x == b)       # 원소별 비교
print(np.allclose(A @ x, b))  # 허용 오차 안에서의 비교

[2.66453526e-15 9.00000000e+01 8.00000000e+01]
[False  True  True]
True

첫 성분은 0이어야 하는데 2.7 × 10⁻¹⁵가 나왔고, 그래서 원소별 비교의 첫 칸이 False다. 컴퓨터의 실수 연산에는 이 정도의 오차가 항상 붙는다. 따라서 수치 해의 등호 검증에는 == 대신 허용 오차 안 비교인 np.allclose를 쓴다. 검증 루틴을 코드로 옮길 때의 표준 관례다.

import numpy as np

# 미지수 x = [A2, B2, A3, B3, A4, B4]  # 전부 kg/h (성분 유량)
A_mat = np.array([
    [0, 0, -0.5,  0,    1,    0  ],  # 합류점 A 수지: A4 - 0.5*A3 = 50
    [0, 0,  0,   -0.5,  0,    1  ],  # 합류점 B 수지: B4 - 0.5*B3 = 50
    [1, 0,  0,    0,   -0.6,  0  ],  # 분리 사양 A: A2 = 0.6*A4
    [0, 1,  0,    0,    0,   -0.5],  # 분리 사양 B: B2 = 0.5*B4
    [1, 0,  1,    0,   -1,    0  ],  # 분리기 A 수지: A2 + A3 = A4
    [0, 1,  0,    1,    0,   -1  ],  # 분리기 B 수지: B2 + B3 = B4
])
b = np.array([50, 50, 0, 0, 0, 0])   # kg/h (신선 공급의 성분 유량)

x = np.linalg.solve(A_mat, b)
print(x)

[37.5        33.33333333 25.         33.33333333 62.5        66.66666667]

A2, B2, A3, B3, A4, B4 = x
m2  = A2 + B2               # kg/h, 상부 생성물 총유량
xA2 = A2 / m2               # 상부 생성물의 A 질량분율
m6  = 0.5 * (A3 + B3)       # kg/h, 하부 생성물(스트림 3의 절반)
xA6 = 0.5 * A3 / m6         # 하부 생성물의 A 질량분율

print(m2, xA2)              # 70.83..., 0.529...
print(m6, xA6)              # 29.16..., 0.428...
print(m2 + m6)              # 100.0 — 총괄 질량 보존
print(np.allclose(A_mat @ x, b))  # True — 해가 방정식을 만족

실습 10: 도구⑦ 물질수지 solver (75분)

이번 실습은 75분 타이머로 진행하는 mini practical이며, 종료 후 공개 지목 구술이 있다. 학번별 파라미터 생성기가 배부한 재순환 공정 문제를 받아, 자유도 분석에서 검증 기록까지 한 번에 완주한다.