11장 유체역학 계산: 배관과 마찰

11.1 레이놀즈 수: 층류와 난류

수도꼭지를 아주 조금만 열면 물줄기가 유리 막대처럼 매끈하게 떨어진다. 조금 더 열면 어느 순간 물줄기가 흐트러지고 표면이 거칠어진다. 같은 물, 같은 꼭지인데 흐름의 상태가 다르다.

앞의 매끈한 흐름처럼 유체가 층을 이루어 가지런히 미끄러지는 상태를 층류(laminar flow)라 한다. 뒤의 거친 흐름처럼 크고 작은 소용돌이가 뒤섞이며 나아가는 상태를 난류(turbulent flow)라 한다. 배관 안에서도 같은 두 상태가 나타나는데, 마찰로 잃는 압력의 계산법이 상태에 따라 완전히 달라진다. 그래서 압력강하 계산의 첫 단계는 언제나 "지금 흐름이 어느 쪽인가"라는 판별이다.

판별 기준은 무차원수 하나로 요약된다. 관 내 흐름에서 레이놀즈 수(Reynolds number, Re)를 다음과 같이 정의한다.

Re = ρ·v·D / μ (11.1)

여기서 ρ는 유체 밀도[kg/m³], v는 평균 유속[m/s], D는 관 내경[m], μ는 점도[Pa·s]다. 분자 ρvD는 유체가 하던 대로 밀고 나가려는 관성의 크기에, 분모 μ는 흐트러짐을 눌러 가지런히 만들려는 점성의 크기에 대응한다. 관성이 이기면 난류, 점성이 이기면 층류다.

정의했으면 단위부터 검산해 보자(검증 루틴 1종인 단위 체크다). Pa·s = kg/(m·s)이므로 식 (11.1)의 단위는

(kg/m³) · (m/s) · (m) / (kg/(m·s)) = 1

분자와 분모가 남김없이 지워진다. Re는 단위가 없는 무차원수다. 계산 결과에 단위가 남는다면 식을 잘못 옮긴 것이다.

경계값은 어디인가. 관 내 흐름에서는 Re < 2320이면 층류로, Re > 2320이면 난류로 판정한다. 임계값으로 2100을 쓰는 문헌도 있다. 실제 전이는 칼로 자르듯 일어나지 않기 때문에 문헌마다 관례가 조금씩 다르다. 이 책은 2320 기준으로 통일하고, 코드에 판별을 넣을 때는 어느 값을 썼는지 주석으로 남긴다.

11.2 Darcy-Weisbach 식: 마찰로 잃는 압력

유체가 관 벽을 스치며 흐르면 벽에는 흐름을 거스르는 마찰력이 걸린다. 이 마찰을 이기느라 흐름 방향을 따라 압력이 조금씩 낮아지는데, 길이 L인 구간에서 잃는 압력을 압력강하(pressure drop) Δp라 한다. 펌프는 정확히 이 값만큼을 보충해야 하므로, 압력강하 계산이 그대로 펌프 사양 계산이 된다.

관 내 흐름의 압력강하는 Darcy-Weisbach 식으로 계산한다.

Δp = λ · (L/D) · ρv²/2 (11.2)

식을 한 항씩 해부해 보자. ρv²/2는 흐르는 유체의 운동에너지를 압력 단위로 나타낸 양으로, 동압(dynamic pressure)이라 부른다. 단위를 확인하면 (kg/m³)·(m²/s²) = kg/(m·s²) = Pa로, 정확히 압력이다. L/D는 관이 지름의 몇 배만큼 긴가를 나타내는 무차원 기하 인자다. 길수록 마찰 구간이 길어 손실이 커지고, 굵을수록 벽의 영향이 옅어져 손실이 작아진다.

남는 것은 λ 하나다. 벽 마찰의 세기를 담는 이 무차원 계수를 마찰계수(friction factor)라 하고, 식 (11.2) 규약의 것을 특히 Darcy 마찰계수(Darcy friction factor)라 부른다. 식 (11.2)의 다른 항은 전부 문제 조건에서 바로 나오므로, 이 장의 나머지는 사실상 λ를 구하는 이야기다.

그런데 문헌에는 마찰계수가 두 종류 있다. 벽 전단응력을 동압으로 나눈 비를 Fanning 마찰계수(Fanning friction factor) f_F라 하는데, 같은 물리를 다르게 정규화했을 뿐이라 두 계수는 정확히 4배 관계다.

λ = 4·f_F (11.3)

층류 마찰계수가 Darcy 규약에서 64/Re, Fanning 규약에서 16/Re로 적히는 것이 이 4배의 흔적이다. 어느 쪽도 틀린 규약이 아니지만, 둘을 섞어 쓰면 계산이 어긋난다. Fanning 값 f_F를 식 (11.2)에 넣으면 압력강하가 4배 작게 나오고, 그 값으로 고른 펌프는 4배 모자란다. 문헌·웹·AI 출력에서 마찰계수를 만나면 "층류식이 64/Re인가 16/Re인가"부터 확인한다. §11.4에서 AI가 정확히 이 지점에서 엇갈리는 사례를 본다.

11.3 마찰계수: Colebrook 식에서 Moody 선도까지

11.3.1 층류: 반복이 필요 없는 영역

층류(Re < 2320)의 마찰계수는 Poiseuille의 결과로 닫힌 식이 알려져 있다.

λ = 64 / Re (11.4)

식 (11.4)를 식 (11.2)에 대입하면 Δp = 32·μ·L·v/D²을 얻는다. 층류의 압력강하는 유속에 정비례하고, 밀도와 무관하며, 점도에 비례한다. 관성이 아니라 점성이 지배하는 영역답다.

11.3.2 난류: 조도가 등장한다

난류가 되면 사정이 복잡해진다. λ가 Re뿐 아니라 관 벽이 얼마나 거친가에도 의존하기 때문이다. 벽 요철의 대표 높이 ε[m]을 절대조도(absolute roughness), 그것을 관 지름으로 나눈 무차원비 ε/D를 상대조도(relative roughness)라 한다. 조도 값은 관의 재질과 상태에 따라 다르며 유체역학 교재나 제조사 자료의 표에서 조회한다(이 장의 문제에서는 조건으로 준다).

난류 마찰계수의 표준 관계식은 Colebrook-White 식(1937)이다.

λ = 1 / [ 2·log₁₀( 2.51/(Re·√λ) + 0.27·ε/D ) ]² (11.5)

식 (11.5)를 잘 보면 이상한 점이 있다. 구하려는 λ가 우변 안에도 들어 있다. 이렇게 미지수를 좌변에 홀로 남기도록 대수적으로 풀 수 없는 식을 암시적 식(implicit equation)이라 하고, 답은 반복 계산으로 얻는다. 방법은 10장의 연립방정식 풀이보다 오히려 단순하다. 적당한 초기값을 우변에 넣어 새 λ를 얻고, 그 값을 다시 우변에 넣는 일을 값이 더 변하지 않을 때까지 되풀이한다. 이를 고정점 반복(fixed-point iteration)이라 한다.

import math

Re = 1.11e5         # 무차원 (예제 11.1-1의 난류 조건)
rel_rough = 0.001   # 무차원 (상대조도 ε/D)

lam = 0.02          # 초기 추측값 — Moody 선도 세로축의 중간쯤
for i in range(6):
    rhs = 2.51 / (Re * math.sqrt(lam)) + 0.27 * rel_rough
    lam = 1.0 / (2 * math.log10(rhs))**2
    print(f"{i+1}회: lam = {lam:.6f}")

실행하면 네 번째 반복부터 소수 여섯째 자리까지 값이 멈춘다.

1회: lam = 0.022057
2회: lam = 0.021955
3회: lam = 0.021960
4회: lam = 0.021960
5회: lam = 0.021960
6회: lam = 0.021960

초기값이 아무 값이나 되는 것은 아니다. lam = 0.0으로 시작하면 √λ = 0으로 나누게 되어 다음 에러가 그대로 난다.

Traceback (most recent call last):
  File "colebrook.py", line 8, in <module>
    rhs = 2.51 / (Re * math.sqrt(lam)) + 0.27 * rel_rough
ZeroDivisionError: float division by zero

초기값은 물리적으로 그럴듯한 값이어야 한다. Moody 선도에서 난류 마찰계수는 대략 0.01~0.1 사이에 놓이므로, 그 중간인 0.02쯤이 안전한 출발점이다. 반복 계산의 초기값을 답이 있을 법한 범위에서 고르는 습관은 10장의 fsolve 초기 추측과 같은 원리다.

11.3.3 반복을 피하는 길: 명시적 근사식

매번 반복문을 돌리는 대신, 정확도를 조금 양보하고 한 번의 대입으로 끝나는 명시적 근사식(explicit approximation)을 쓸 수 있다. 매끈한 관(ε/D ≈ 0), 2320 < Re < 10⁵ 범위에서는 Blasius 식이 좋은 근사를 준다.

λ = 0.3164 · Re^−0.25 (11.6)

조도까지 포함해 Re > 2320 전 영역을 덮는 것은 Swamee-Jain 식(1976)이다.

λ = 0.25 / [ log₁₀( ε/(3.7·D) + 5.75/Re^0.9 ) ]² (11.7)

식 (11.7)의 ε/(3.7·D)는 식 (11.5)의 0.27·ε/D와 같은 항이다(1/3.7 ≈ 0.27). 문헌마다 표기가 다를 뿐이다. 그리고 두 식 모두 로그의 밑과 상수가 한 세트다. 8장의 Antoine 상수에서 본 것과 같은 함정으로, 식 (11.7)을 자연로그 ln으로 쓰는 문헌은 상수도 0.25 대신 1.325를 쓴다. 식을 옮기며 로그 밑을 바꾸면 상수도 함께 바뀌어야 한다.

도구⑧에는 어떤 식을 넣을까. 층류는 식 (11.4)로 확정이고, 난류는 식 (11.7)을 기본으로 쓰되 식 (11.5)를 반복으로 푼 값과 1% 이내로 일치하는지 대조한다. 예제 11.1-1의 난류 조건(Re = 1.11×10⁵, ε/D = 0.001)에서 식 (11.7)은 0.0221, 코드 11-1의 수렴값은 0.0220이다. 0.8% 차이로, 조도 값 자체의 불확실성보다 훨씬 작다.

11.3.4 Moody 선도: 식들의 지도

지금까지의 식을 전부 한 장의 그래프에 겹쳐 그린 것이 Moody 선도(Moody diagram, 1944)다. 가로축 Re, 세로축 λ를 모두 로그 눈금으로 잡고, 왼쪽에 층류 직선(64/Re)을, 오른쪽에 상대조도별 난류 곡선 가족을 그린다. 컴퓨터 이전 시대에는 이 선도에서 눈으로 λ를 읽었고, 지금도 계산값의 자릿수가 맞는지 한눈에 확인하는 지도로 쓴다.

로그-로그 그래프는 matplotlib에서 plt.plot 대신 plt.loglog를 쓰면 된다. 층류 직선만 먼저 그려 보자.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Re = np.linspace(500, 2320, 50)   # 층류 영역 (무차원)
plt.loglog(Re, 64 / Re)           # 두 축 모두 로그 눈금
plt.xlabel("Re")
plt.ylabel("Darcy friction factor")
plt.grid(True, which="both")
plt.show()

로그-로그 눈금에서 64/Re는 기울기 −1의 직선으로 나타난다. 난류 곡선 가족과 계산점 표시는 실습 11에서 직접 완성한다.

11.4 AI 협업: 마찰계수 함수와 4배 함정

도구⑧의 중심은 "Re와 상대조도를 받아 λ를 돌려주는 함수" 하나다. §11.2에서 규약이 두 가지임을 알았으므로, 프롬프트에 규약을 못 박는 것이 이번 장의 프롬프트 패턴이다.

import numpy as np

def darcy_friction_factor(Re, rel_rough=0.0):
    """Darcy 마찰계수를 반환한다 (Fanning의 4배 규약).

    Re        : 레이놀즈 수 (무차원)
    rel_rough : 상대조도 ε/D (무차원), 기본값 0 = 매끈한 관
    """
    if Re <= 0:
        raise ValueError("Re는 양수여야 한다")
    if Re < 2320:                    # 층류 (Poiseuille)
        return 64.0 / Re
    # 난류: Swamee-Jain 명시적 근사 (Re > 2320 전 영역)
    arg = rel_rough / 3.7 + 5.75 / Re**0.9
    return 0.25 / np.log10(arg)**2

검증을 마친 함수가 생겼으니 전체 계산을 조립하자. 물성과 조건을 대입하는 정도의 스크립트는 직접 쓴다. 무엇을 AI에게 시키고 무엇을 직접 할지 가르는 감각도 훈련의 일부다.

import numpy as np
from friction import darcy_friction_factor   # 코드 11-3 (검증 완료)

T = 298.15   # K (25 °C)
# 물의 밀도·점도 상관식 (T는 K 단위 크기, 출처: pycse/Polymath 8.8)
rho = 46.048 + 9.418*T - 0.0329*T**2 + 4.882e-5*T**3 - 2.895e-8*T**4  # kg/m^3
mu = np.exp(-10.547 + 541.69 / (T - 144.53))                          # Pa·s

D, L, v = 0.05, 100.0, 2.0   # m, m, m/s
eps = 0.05e-3                # m (절대조도 0.05 mm — mm→m 환산)

Re = rho * v * D / mu                      # 무차원
lam = darcy_friction_factor(Re, eps / D)   # 무차원
dp = lam * (L / D) * 0.5 * rho * v**2      # Pa
print(f"rho={rho:.1f} kg/m3, mu={mu:.2e} Pa.s, Re={Re:.2e}")
print(f"lam={lam:.4f}, dp={dp/1000:.1f} kPa")

rho=994.6 kg/m3, mu=8.93e-04 Pa.s, Re=1.11e+05
lam=0.0221, dp=88.0 kPa

동시수강 중인 유체역학 과목과의 관계를 짚어 두자. 유체역학 강의가 이 식들의 유도와 물리를 담당한다면, 이 장은 같은 식을 "계산 가능한 형태"로 옮겨 도구로 굳히는 쪽을 담당한다. 종이 위의 Moody 선도에서 눈으로 λ를 읽는 훈련과, 그 선도를 코드로 그려 계산점을 얹는 훈련은 같은 내용의 양면이다. 이론 수업에서 새 상관식을 만나면 도구⑧에 분기 하나로 추가해 보라(도구를 함수로 만들어 둔 이유가 그것이다).

import math

def pressure_drop(D_mm, L, v, rho, mu, eps_mm):
    """배관 압력강하 [Pa]를 반환한다."""
    D = D_mm                    # 관 내경
    Re = rho * v * D / mu       # 레이놀즈 수
    if Re < 2320:
        lam = 16.0 / Re         # 층류 마찰계수
    else:
        arg = eps_mm / (3.7 * D) + 5.75 / Re**0.9
        lam = 0.25 / math.log(arg)**2    # Swamee-Jain
    return lam * (L / D) * 0.5 * rho * v**2